Ang algebra ay isang sangay ng matematika na gumagamit ng mga bilang, letra at palatandaan upang mag-refer sa iba't ibang mga pagpapatakbo ng arithmetic na isinagawa. Sa kasalukuyan ang algebra bilang isang mapagkukunang matematika ay ginagamit sa mga ugnayan, istraktura at dami. Ang elementarya algebra ay ang pinaka-karaniwang dahil ito ay ang isa na gumagamit ng mga pagpapatakbo ng arithmetic tulad ng pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami at paghati dahil, hindi katulad ng aritmetika, gumagamit ito ng mga simbolo tulad ng xy na pinaka-karaniwan sa halip na gumamit ng mga numero.
Ano ang algebra
Talaan ng mga Nilalaman
Ito ang sangay na pag-aari ng matematika, na nagbibigay-daan upang paunlarin at malutas ang mga problema sa aritmetika sa pamamagitan ng mga titik, simbolo at numero, na sumasagisag naman sa mga bagay, paksa o pangkat ng mga elemento. Ito ay nagbibigay-daan upang bumalangkas ng mga operasyon na naglalaman ng hindi kilalang mga numero, na tinatawag na unknowns at na gumagawa ng pag-unlad ng mga equation maaari.
Sa pamamagitan ng algebra, ang tao ay nakapagbibilang sa isang abstract at generic na paraan, ngunit mas advanced din, sa pamamagitan ng mas kumplikadong mga kalkulasyon, na binuo ng matematika at pisikal na intelektwal tulad ni Sir Isaac Newton (1643-1727), Leonhard Euler (1707- 1783), Pierre de Fermat (1607-1665) o Carl Friedrich Gauss (1777-1855), salamat sa kaninong mga kontribusyon mayroon kaming kahulugan ng algebra na kilala ngayon.
Gayunpaman, ayon sa kasaysayan ng algebra, si Diophantus ng Alexandria (hindi kilala ang petsa ng kapanganakan at kamatayan, pinaniniwalaang nabuhay sa pagitan ng ika-3 at ika-4 na siglo), ay talagang ama ng sangay na ito, habang naglathala siya ng akdang tinatawag na Arithmetica, na Ito ay binubuo ng labintatlong libro at kung saan nagpakita siya ng mga problema sa mga equation na, kahit na hindi ito tumutugma sa isang teoretikal na tauhan, ay sapat para sa pangkalahatang mga solusyon. Nakatulong ito na tukuyin kung ano ang algebra, at kabilang sa maraming mga kontribusyon na ginawa nito, ito ay ang pagpapatupad ng mga simbolo ng unibersal para sa representasyon ng isang hindi kilalang sa loob ng mga variable ng problema na malulutas.
Ang pinagmulan ng salitang "algebra" ay nagmula sa Arabe at nangangahulugang "panunumbalik" o "pagkilala". Sa parehong paraan mayroon itong kahulugan sa Latin, na tumutugma sa "pagbawas", at, kahit na hindi magkapareho ang mga termino, pareho ang kahulugan ng mga ito.
Bilang isang karagdagang tool para sa pag-aaral ng sangay na ito, makakaasa ka sa calculator ng algebraic, na mga calculator na maaaring mag-grap ng mga pagpapaandar ng algebraic. Pinapayagan sa ganitong paraan upang isama, makuha, gawing simple ang mga expression at pag-andar ng grap, gumawa ng mga matrice, malutas ang mga equation, bukod sa iba pang mga pagpapaandar, bagaman ang tool na ito ay mas naaangkop para sa isang mas mataas na antas.
Sa loob ng algebra ay ang term na algebraic, na kung saan ay ang produkto ng isang numerong kadahilanan ng hindi bababa sa isang variable ng titik; kung saan ang bawat term ay maaaring maiiba ang bilang ng mga coefficient nito, ang mga variable nito ay kinakatawan ng mga titik at ang antas ng kataga kapag nagdaragdag ng mga exponents ng mga literal na elemento. Nangangahulugan ito na para sa term na algebraic na p5qr2, ang koepisyent ay magiging 1, ang literal na bahagi nito ay magiging p5qr2, at ang degree nito ay 5 + 1 + 2 = 8.
Ano ang isang expression ng algebraic
Ito ay isang ekspresyong binubuo ng mga integer Constant, variable at operasyon ng algebraic. Ang isang expression na algebraic ay binubuo ng mga palatandaan o simbolo at binubuo ng iba pang mga tukoy na elemento.
Sa elementarya na algebra, pati na rin sa arithmetic, ang mga pagpapatakbo ng algebraic na ginagamit upang malutas ang mga problema ay: pagdaragdag o pagdaragdag, pagbabawas o pagbabawas, pagpaparami, paghahati, pagbibigay lakas (pagpaparami ng maraming kadahilanan beses) at radication (kabaligtaran operasyon ng potentiation).
Ang mga palatandaan na ginamit sa mga pagpapatakbo na ito ay kapareho ng mga ginamit para sa arithmetic bilang karagdagan (+) at pagbabawas (-), ngunit para sa pagpaparami ang X (x) ay pinalitan ng isang punto (.) O maaari silang ma representahan ng mga palatandaan ng pagpapangkat (halimbawa: ang cd at (c) (d) ay katumbas ng elementong "c" na pinarami ng elementong "d" o cxd) at sa algebraic na dibisyon ay ginagamit ang dalawang puntos (:).
Ginagamit din ang mga palatandaan sa pagpapangkat, tulad ng panaklong (), mga parisukat na braket, brace {}, at pahalang na mga guhitan. Ginagamit din ang mga karatula sa pakikipag-ugnay, na kung saan ay ang mga ginamit upang ipahiwatig na mayroong isang ugnayan sa pagitan ng dalawang data, at kabilang sa mga pinaka ginagamit ay katumbas ng (=), mas malaki sa (>) at mas mababa sa (<).
Gayundin, ang mga ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng paggamit ng totoong mga numero (makatuwiran, na kasama ang positibo, negatibo at zero; at hindi makatuwiran, na kung saan ay hindi maaaring kumatawan bilang mga praksyon) o kumplikado, na bahagi ng mga totoong, bumubuo ng isang nakasarang algebraically field.
Ito ang pangunahing mga ekspresyon ng algebraic
May mga expression na bahagi ng konsepto ng kung ano ang algebra, ang mga expression na ito ay inuri sa dalawang uri: monomial, na kung saan ay ang mga may isang solong pagdaragdag; at mga polynomial, na mayroong dalawa (binomial), tatlo (trinomial) o higit pang mga addend.
Ang ilang mga halimbawa ng mga monomial ay: 3x, π
Habang ang ilang mga polynomial ay maaaring: 4 × 2 + 2x (binomial); 7ab + 3a3 (trinomial)
Mahalagang banggitin na kung ang variable (sa kasong ito na "x") ay nasa denominator o sa loob ng isang ugat, ang mga expression ay hindi magiging monomial o polynomial.
Ano ang linear algebra
Ang lugar na ito ng matematika at algebra ay ang isa na nag-aaral ng mga konsepto ng mga vector, matrice, system ng mga linear equation, vector space, linear transformation at matrices. Tulad ng makikita, ang linear algebra ay may iba't ibang mga application.
Ang pagiging kapaki-pakinabang nito ay nag-iiba mula sa pag-aaral ng puwang ng mga pag-andar, na kung saan ay tinukoy ng isang set X (pahalang) sa isang hanay na Y (patayo) at inilalapat sa mga puwang ng vector o topological; mga equation na kaugalian, na nauugnay sa isang pagpapaandar (halaga na nakasalalay sa pangalawang halaga) kasama ang mga derivatives nito (instant na rate ng pagbabago na nagpapabago sa halaga ng isang naibigay na pagpapaandar); operasyon sa pagsasaliksik, na naglalapat ng mga advanced na pamamaraan ng analytical upang makagawa ng mahusay na mga desisyon; sa engineering.
Ang isa sa mga pangunahing palakol ng pag-aaral ng linear algebra ay nasa mga puwang ng vector, na binubuo ng isang hanay ng mga vector (mga segment ng isang linya) at isang hanay ng mga scalar (tunay, pare-pareho o kumplikadong mga numero, na may lakas ngunit hindi ang katangian ng direksyon ng vector).
Ang pangunahing hangganan ng dimensional na mga puwang ng vector ay tatlo:
- Ang mga vector sa Rn, na kumakatawan sa mga coordinate ng Cartesian (pahalang X axis at patayong Y axis).
- Ang mga matrice, na kung saan ay mga parihaba na expression ng system (kinakatawan ng mga numero o simbolo), ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang bilang ng mga hilera (karaniwang kinakatawan ng titik na "m") at isang bilang ng mga haligi (na ipinahiwatig ng titik na "n"), at ginagamit ang mga ito sa agham at inhinyeriya.
- Ang puwang ng vector ng mga polynomial sa parehong variable, na ibinigay ng mga polynomial na hindi hihigit sa degree 2, ay may mga tunay na koepisyent at matatagpuan sa variable na "x".
Mga pagpapaandar sa algebraic
Ito ay tumutukoy sa isang pagpapaandar na tumutugma sa isang ekspresyon ng algebraic, habang nasisiyahan din nito ang isang polynomial equation (ang mga coefficients nito ay maaaring maging monomial o polynomial) Ang mga ito ay inuri bilang: makatuwiran, hindi makatuwiran at ganap na halaga.
- Ang integer rational function ay ang mga ipinahayag sa:, kung saan ang "P" at "Q" ay kumakatawan sa dalawang polynomial at "x" na variable, kung saan ang "Q" ay naiiba mula sa null polynomial, at ang variable na "x" ay hindi kinansela ang denominator.
- Hindi makatuwirang mga pag-andar, kung saan ang ekspresyong f (x) ay kumakatawan sa isang radikal, tulad nito:. Kung ang halaga ng "n" ay pantay, ang radikal ay matutukoy upang ang g (x) ay mas malaki kaysa sa at katumbas ng 0, at ang palatandaan ng resulta ay dapat ding ipahiwatig, dahil kung wala ito, hindi posible na magsalita tungkol sa isang pagpapaandar, dahil para sa bawat halaga ng "x" magkakaroon ng dalawang mga resulta; habang kung ang index ng radikal ay kakaiba, ang huli ay hindi kinakailangan, dahil ang resulta ay magiging kakaiba.
- Ang mga pagpapaandar na ganap na halaga, kung saan ang ganap na halaga ng isang tunay na numero ay ang magiging bilang na bilang nito na iniiwan ang tanda nito. Halimbawa, 5 ang magiging ganap na halaga ng parehong 5 at -5.
Mayroong mga malinaw na pagpapaandar ng algebraic, kung saan ang variable na "y" ay magiging resulta ng pagsasama ng variable na "x" isang limitadong bilang ng mga oras, gamit ang mga pagpapatakbo ng algebraic (halimbawa, karagdagan sa algebraic), na kasama ang pagtaas sa mga potensyal at pagkuha ng mga ugat; isasalin ito sa y = f (x). Ang isang halimbawa ng ganitong uri ng pagpapaandar ng algebraic ay maaaring ang mga sumusunod: y = 3x + 2 o kung ano ang magiging pareho: (x) = 3x + 2, dahil ang "y" ay ipinahayag lamang sa mga term ng "x".
Sa kabilang banda, may mga implicit, na kung saan ang variable na "y" ay hindi lamang ipinahayag bilang isang pagpapaandar ng variable na "x", kaya't y ≠ f (x). Bilang isang halimbawa ng ganitong uri ng pagpapaandar, mayroon kaming: y = 5x3y-2
Mga halimbawa ng pagpapaandar sa algebraic
Mayroong hindi bababa sa 30 uri ng mga pagpapaandar sa algebraic, ngunit kabilang sa pinakatanyag, may mga sumusunod na halimbawa:
1. Malinaw na pagpapaandar: ƒ () = kasalanan
2. Implicit na pag-andar: yx = 9 × 3 + x-5
3. Pag- andar ng Polynomial:
a) Patuloy: ƒ () = 6
b) Unang degree o linear: ƒ () = 3 + 4
c) Pangalawang degree o quadratic: ƒ () = 2 + 2 + 1 o (+1) 2
d) Pangatlong degree o kubiko: ƒ () = 2 3 + 4 2 + 3 +9
4. Rational function: ƒ
5. Potensyal na pagpapaandar: ƒ () = - 1
6. Radical function: ƒ () =
7. Pag-andar ng mga seksyon: ƒ () = kung 0 ≤ ≤ 5
Ano ang Baldor algebra
Kapag pinag-uusapan ang tungkol sa kung ano ang algebra ni Baldor, tumutukoy ito sa isang gawaing binuo ng dalub-agbilang, guro, manunulat at abugado na si Aurelio Baldor (1906-1978), na inilathala noong 1941. Sa publication ng propesor, sino ay ipinanganak sa Havana, Cuba, 5,790 pagsasanay ay sinusuri, katumbas ng isang average ng 19 na ehersisyo bawat pagsubok.
Ang Baldor ay naglathala ng iba pang mga gawa, tulad ng "Plane and Space Geometry", "Baldor Trigonometry" at "Baldor Arithmetic", ngunit ang isa na nagkaroon ng pinakamaraming epekto sa larangan ng sangay na ito ay ang "Baldor Algebra".
Ang materyal na ito, gayunpaman, ay mas inirerekomenda para sa intermediate na antas ng edukasyon (tulad ng sekundaryong paaralan), dahil para sa mas mataas na antas (unibersidad) bahagya itong magsilbing pandagdag sa iba pang mga mas advanced na teksto ayon sa antas na iyon.
Ang bantog na takip na nagtatampok ng Persian Muslim matematiko, astronomo at heograpo na si Al-Juarismi (780-846), ay kumakatawan sa pagkalito sa mga mag-aaral na gumamit ng sikat na tool sa matematika na ito, dahil naisip na ang tauhang ito ay tungkol sa ang may-akda nito na si Baldor.
Ang nilalaman ng gawain ay nahahati sa 39 mga kabanata at isang apendiks, na naglalaman ng mga talahanayan ng pagkalkula, isang talahanayan ng pangunahing mga form ng agnas ng kadahilanan at mga talahanayan ng mga ugat at kapangyarihan; at sa pagtatapos ng teksto ay ang mga sagot sa mga pagsasanay.
Sa simula ng bawat kabanata mayroong isang paglalarawan na sumasalamin ng isang makasaysayang pagsusuri ng konsepto na bubuo at ipaliwanag sa ibaba, at binabanggit ang mga kilalang makasaysayang pigura sa larangan, alinsunod sa makasaysayang konteksto kung saan matatagpuan ang sanggunian ng konsepto. Ang mga tauhang ito ay mula sa Pythagoras, Archimedes, Plato, Diophantus, Hypatia, at Euclid, hanggang kay René Descartes, Isaac Newton, Leonardo Euler, Blas Pascal, Pierre-Simon Laplace, Johann Carl Friedrich Gauss, Max Planck, at Albert Einstein.
Ano ang dahilan ng katanyagan ng librong ito?
Ang tagumpay nito ay nakasalalay sa katotohanang ito ay, bilang karagdagan sa pagiging isang tanyag na sapilitang akdang pampanitikan sa mga high school sa Latin American, ang pinaka-konsulta at kumpletong libro tungkol sa paksa, dahil naglalaman ito ng isang malinaw na paliwanag ng mga konsepto at kanilang mga algebraic equation, pati na rin ang data ng kasaysayan sa mga aspeto upang mag-aral, kung saan ang algebraic na wika ay pinangangasiwaan.
Ang aklat na ito ay ang pagsisimula ng kahusayan para sa mga mag-aaral sa mundo ng algebraic, kahit na para sa ilan ay kumakatawan ito sa isang mapagkukunan ng mga inspirasyong pag-aaral at para sa iba ay kinatakutan, ang totoo ay ito ay isang sapilitan at perpektong bibliograpiya para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa mga paksang sakop..
Ano ang Boolean algebra
Ang dalub-agbilang sa matematika na si George Boole (1815-1864), ay lumikha ng isang pangkat ng mga batas at panuntunan upang maisagawa ang mga pagpapatakbo ng algebraic, sa punto na ang isang bahagi nito ay binigyan ng pangalan nito. Para sa kadahilanang ito, ang Ingles na dalub-agbilang sa matematika at logician ay itinuturing na isa sa mga nangunguna sa agham ng computer.
Sa mga problemang lohikal at pilosopiko, ang mga batas na binuo ni Boole ay pinapayagan na gawing simple ang mga ito sa dalawang estado, na kung saan ay ang tunay na estado o maling estado, at ang mga konklusyong ito ay naabot sa pamamagitan ng paraan ng matematika. Ang ilan ay nagpatupad ng mga control system, tulad ng mga contactor at relay, gumagamit ng bukas at saradong mga sangkap, ang bukas ay ang isa na nagsasagawa at ang sarado ay ang hindi. Ito ay kilala bilang lahat o wala sa Boolean algebra.
Ang mga nasabing estado ay may representasyong bilang na 1 at 0, kung saan ang 1 ay kumakatawan sa totoo at 0 na hindi totoo, na ginagawang mas madali ang kanilang pag-aaral. Ayon sa lahat ng ito, ang anumang bahagi ng lahat ng uri o wala ay maaaring kumatawan sa isang lohikal na variable, na nangangahulugang maaari itong magkaroon ng halagang 1 o 0, ang mga representasyong ito ay kilala bilang binary code.
Ginagawang posible ng Boolean algebra na gawing simple ang lohika o lohika na paglipat ng mga circuit sa loob ng digital electronics; sa pamamagitan din nito, ang mga kalkulasyon at pagpapatakbo ng lohika ng mga circuit ay maaaring isagawa sa isang mas malinaw na paraan.
Sa Boolean algebra mayroong tatlong pangunahing mga pamamaraan, na kung saan ay: ang lohikal na produkto, ang AND gate o intersection function; ang lohikal na kabuuan, O gate, o pagpapaandar ng unyon; at lohikal na pagwawaksi, HINDI pag-andar ng gate o pandagdag. Mayroon ding maraming mga pandiwang pantulong na pag-andar: lohikal na pagtanggi ng produkto, gate ng NAND; pagtanggi ng lohikal na kabuuan, NOR gate; eksklusibong kabuuan ng lohika, XOR gate; at pagwawaksi ng eksklusibong lohikal na kabuuan, gate XNOR.
Sa loob ng Boolean algebra, maraming mga batas, bukod dito ay:
- Batas sa pagkansela. Tinawag din na batas sa pagkansela, sinasabi nito na sa ilang ehersisyo pagkatapos ng isang proseso, makakansela ang malayang termino, upang (AB) + A = A at (A + B). A = A.
- Batas sa pagkakakilanlan. O ng pagkakakilanlan ng mga elemento ng 0 at 1, itinatakda nito na ang isang variable kung saan idinagdag ang null na elemento o 0, ay katumbas ng parehong variable A + 0 = A sa parehong paraan na kung ang variable ay pinarami ng 1, ang resulta ay pareho A.1 = a.
- Batas na walang kapangyarihan. Unidos na ang isang partikular na pagkilos ay maaaring gumanap ng ilang beses at ang parehong resulta, kaya na, kung mayroon kang isang kumbinasyon A + A = A at kung ito ay isang pagtanggal AA = A.
- Batas ng commutative. Ito ay nangangahulugan na hindi mahalaga ang pagkakasunud-sunod kung saan ang mga variable na ito ay, sa gayon A + B = B + A.
- Batas sa pagdoble ng doble. O kaguluhan, mga estado na kung ang isang pagtanggi ay ibinigay ng isa pang pagtanggi ng isang positibong resulta, kaya na (A ') = A.
- Teorema ni Morgan. Sinasabi nito na ang kabuuan ng ilang halaga ng mga tinanggihan na variable sa pangkalahatan ay katumbas ng produkto ng bawat tinanggihan na variable nang nakapag-iisa, kaya (A + B) '= A'.B' at (AB) '= A' + B '.
- Batas sa pamamahagi. Itinatakda nito na kapag ang ilang mga variable ay pinagsama, na kung saan ay i-multiply ng isa pang panlabas na variable, magiging pareho ito sa pag-multiply ng bawat variable na naka-grupo ng panlabas na variable, tulad ng sumusunod: A (B + C) = AB + AC.
- Batas sa pagsipsip. Sinasabi nito na kung ang isang variable na A ay nagpapahiwatig ng isang variable B, kung gayon ang variable na A ay magpapahiwatig ng A at B, at ang A ay "hinihigop" ng B.
- Batas na nauugnay. Sa disjunction o kapag sumali sa maraming mga variable, ang resulta ay magiging pareho anuman ang kanilang pagpapangkat; kaya't sa pagdaragdag A + (B + C) = (A + B) + C (ang unang elemento kasama ang pagsasama ng huling dalawa, ay katumbas ng pagsasama ng unang dalawa plus ang huling).
